P5491 【模板】二次剩余

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即求$\sqrt{n}\ \mod p=?$

$x_1^2\mod p=n$

$x_2^2\mod p=n$

$(x_1+x_2)(x_1-x_2)\mod p=0$

$x_1+x_2=mod$

$0不算的话$,$\mod p$内的二次剩余就有$p/2$个。

判别是否有二次剩余

是二次剩余

$x^{2\times \frac{p-1}{2}}\mod p=n^{ \frac{p-1}{2}}=1$

不是二次剩余

$(n^{ \frac{p-1}{2}}-1)(n^{ \frac{p-1}{2}}+1)=0$

$n^{ \frac{p-1}{2}}=-1$

寻找二次剩余

找一个非二次剩余$a^2-n$，由于期望失败的概率为$(1/2)^k$

定义虚数单位 $i^2\equiv a^2-n$,
那么$(a+i)^{p+1}=n$

证明:
$i^p=-i\rightarrow i(i^{2\times \frac{p-1}{2}})=-i$

$(a+i)^p=C_p^0a^0i^p+C_p^pa^p+i^0=a-i,C_p^{1…p-1}\mod p=0$

$(a+i)^{p+1}=a^2-i^2=n$

然而还剩最后一个问题， $(a + i)^{\frac{p+1}{2}}$ 的“虚部”一定为 $0$ 吗？

假设存在$(A+Bi)^2\equiv n$

$B^2i^2\equiv n$,$i^2=nB^{-2}$为二次剩余与题意不符合，所有$A=0$

代码 
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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define pii pair<int, int>
#define mk make_pair
const int N = 1e6 + 10;
int mod = 1e9 + 7;

struct Complex
{
    ll x, y;
    Complex(double _x = 0.0, double _y = 0.0)
    {
        x = _x;
        y = _y;
    }
    Complex operator-(const Complex &b) const { return Complex(x - b.x, y - b.y); }
    Complex operator+(const Complex &b) const { return Complex(x + b.x, y + b.y); }
    Complex operator*(const Complex &b) const { return Complex(x * b.x % mod - y * b.y, x * b.y + y * b.x); }
};
Complex mult(Complex a, Complex b, int w)
{
    return Complex((1ll * a.x * b.x % mod + 1ll * w * a.y % mod * b.y % mod + mod) % mod, (1ll * a.x * b.y + 1ll * a.y * b.x + mod) % mod);
}
int qpow(int a, int x)
{
    int res = 1;
    while (x)
    {
        if (x & 1)
            res = 1ll * res * a % mod;
        a = 1ll * a * a % mod;
        x >>= 1;
    }
    return res;
}

Complex qpow(Complex a, int x, int w)
{
    Complex res(1, 0);
    while (x)
    {
        if (x & 1)
            res = mult(res, a, w);
        a = mult(a, a, w);
        x >>= 1;
    }
    return res;
}
pii Cipolla(int x, int p)
{
    mod = p;
    int k, b;

    while (1)
    {
        k = rand() % p;
        b = (1ll * k * k % mod - x + mod) % mod;
        if (qpow(b, (p - 1) / 2) == mod - 1)
            break;
    }

    Complex ans(k, 1);
    ans = qpow(ans, (p + 1) / 2, b);
    return mk(min(ans.x, mod - ans.x), max(ans.x, mod - ans.x));
}
int T;
int main()
{
    cin >> T;
    while (T--)
    {
        int n, p;
        cin >> n >> p;

        mod = p;
        if (!n)
            printf("0\n");

        else if (qpow(n % p, (p - 1) / 2) == p - 1)
            printf("Hola!\n");
        else
        {
            pii ans = Cipolla(n % p, p);
            if (ans.first == ans.second)
                printf("%d\n", ans.first);
            else
                printf("%d %d\n", ans.first, ans.second);
        }
    }
}