CF997C Sky Full of Stars

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有一个 $n \times n$$( n \leq 10^6$)的正方形网格，用红色，绿色，蓝色三种颜色染色，求有多少种染色方案使得至少一行或一列是同一种颜色。结果对 $998244353$ 取模。

分类讨论二项式反演

$i=0|j=0$ 单独计算。

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define pii pair<int, int>
#define mk make_pair
const int N = 1e6+ 10;
const int mod = 998244353;

int qpow(int a, ll x, int mo)
{
    int res = 1;
    while (x)
    {
        if (x & 1)
            res = 1ll * res * a % mo;
        a = 1ll * a * a % mo;
        x >>= 1;
    }
    return res;
}

int fac[N], facinv[N];
void prepare()
{
    fac[0] = 1;
    facinv[0] = 1;
    for (int i = 1; i < N; i++)
        fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % mod;
    facinv[N - 1] = qpow(fac[N - 1], mod - 2, mod);
    for (int i = N - 2; i >= 1; i--)
        facinv[i] = 1ll * facinv[i + 1] * (i + 1) % mod;
}
int C(int n, int i)
{
    if (i == 0)
        return 1;
    if (n <= 0)
        return 0;
    if (i > n)
        return 0;

    return 1ll * fac[n] * facinv[i] % mod * facinv[n - i] % mod;
}

int n, pow3[N];
int main()
{
    prepare();
    scanf("%d", &n);
    pow3[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        pow3[i] = 3ll * pow3[i - 1] % mod;
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        ans += 1ll * C(n, i + 0) * pow3[i] % mod * qpow(3, 1ll * n * (n - i), mod) % mod * (i & 1 ? mod - 1 : 1) % mod;
        ans %= mod;
    }

    ans = 2ll * ans % mod;

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int k = qpow((-1 + pow3[n - i] + mod) % mod, n, mod);
        k = (k - qpow(3, 1ll * n * (n - i), mod) + mod) % mod;
        ans += 3ll * k % mod * C(n, i) % mod * (i & 1 ? mod - 1 : 1) % mod;
        ans %= mod;
    }

    printf("%d", mod - ans);
}