CF603E - Pastoral Oddities

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  • 给定一张 $n$个点的无向图，初始没有边。
  • 依次加入$m$条带权的边，每次加入后询问是否存在一个边集，满足每个点的度数均为奇数。
  • 若存在，则还需要最小化边集中的最大边权。
  • $n \le 10^5,m\leq 3\times 10^5 $

考虑静态图，显然首先满足联通块点数为偶数。

考虑当前图也必须联通块是偶数点，（因为去边之后分裂成联通也要满足偶数点)。

最小化边集中的最大边权，考虑维护最小生成树。

如果纯静态，我们可以从叶子节点类似递推选择尽量少的边。这样显然是可以有解.

但是这个时候我们仍然没有选出最优解。

瞎$JB$乱画发现，删掉的边都是分裂成$奇+奇$的，我们不断地尝试删除当前森林中边权最大的边，联通块就会分裂，如果产生分裂成$奇+奇$，表示这个边不能删，这里的操作用大根堆以及懒惰记号表示。

然后用$LCT$子树维护一下奇数的联通块有多少。

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#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 4e5 + 10;

struct Edge
{
    int u, v, w;
    Edge(){};
};

struct LCT
{
#define ls son[pos][0]
#define rs son[pos][1]

    int fa[N], root, tcnt;
    int son[N][2];
    pair<int, int> mx[N], val[N];
    int exsiz[N], si[N], siz[N];
    int rev[N];
    int cnt = 0;
    void pushup(int pos)
    {
        mx[pos] = max(val[pos], max(mx[ls], mx[rs]));
        siz[pos] = siz[ls] + siz[rs] + exsiz[pos] + si[pos];
    }
    bool isroot(int pos)
    {
        return pos != son[fa[pos]][0] && pos != son[fa[pos]][1];
    }
    void addrev(int pos)
    {
        rev[pos] ^= 1;
        swap(son[pos][0], son[pos][1]);
    }

    void pushdown(int pos)
    {

        if (rev[pos])
        {
            if (son[pos][1])
                addrev(son[pos][1]);
            if (son[pos][0])
                addrev(son[pos][0]);
            rev[pos] = 0;
        }
    }

    bool isson(int pos) { return pos == son[fa[pos]][1]; }

    void conect(int x, int d, int y)
    {
        son[x][d] = y;
        fa[y] = x;
    }

    void rorate(int x)
    {
        int y = fa[x], z = fa[y], dx = isson(x), dy = isson(y);

        fa[x] = z;
        if (!isroot(y))
            son[z][dy] = x;
        //conect(z, dy, x);
        conect(y, dx, son[x][dx ^ 1]);
        conect(x, dx ^ 1, y);
        pushup(y), pushup(x);
    }
    int st[N];
    void splay(int x)
    {
        int top;
        st[top = 1] = x;
        int u = x;
        while (!isroot(u))
            u = fa[u], st[++top] = u;
        while (top)
            pushdown(st[top--]);
        while (!isroot(x))
        {
            int y = fa[x];
            if (isroot(y))
            {
                rorate(x);
            }
            else if (isson(x) == isson(y))
                rorate(y), rorate(x);
            else
                rorate(x), rorate(x);
        }
        pushup(x);
    }
    void access(int x)
    {
        for (int i = 0; x; i = x, x = fa[x])
        {
            splay(x), exsiz[x] -= siz[i], exsiz[x] += siz[son[x][1]], son[x][1] = i, pushup(x);
        }
    }
    void makeroot(int x)
    {
        access(x), splay(x), addrev(x); // access 之后将没有右子树。然后把x变成根，把下面都翻转，这样x就是最小的元素了。
    }
    int findroot(int x)
    {
        access(x), splay(x);
        while (son[x][0])
            pushdown(x), x = son[x][0];
        splay(x);
        return x;
    }
    void split(int x, int y)
    {
        makeroot(x);
        access(y);
        splay(y);
    }

    void link(int x, int y)
    {
        split(x, y);
        cnt -= siz[x] & 1;
        cnt -= siz[y] & 1;
        fa[x] = y;
        exsiz[y] += siz[x];
        pushup(y);
        cnt += siz[y] & 1;
    }
    void cut(int x, int y)
    {
        split(x, y);
        fa[x] = 0;
        son[y][0] = 0;
        cnt -= siz[y] & 1;
        pushup(y);
        cnt += siz[x] & 1;
        cnt += siz[y] & 1;
    }

    void init(int n, int m, vector<Edge> tmp)
    {
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            si[i] = 1;
        for (int i = 1; i <= m; i++)
            val[i + n] = mx[i + n] = {tmp[i].w, i};
    }
    void solve(int n, int m, vector<Edge> tmp)
    {
        cnt = n;
        vector<int> vis(m + 1);
        priority_queue<pair<int, int>> q;
        auto add = [&](int i) {
            int u = tmp[i].u, v = tmp[i].v, w = tmp[i].w;
            bool flag = 1;
            if (findroot(u) == findroot(v))
            {
                split(u, v);
                auto o = mx[v];
                if (o.first > w)
                {
                    cut(n + o.second, tmp[o.second].u);
                    cut(n + o.second, tmp[o.second].v);
                    vis[o.second] = 1;
                }
                else
                    flag = 0;
            }
            if (flag)
            {
                link(i + n, u), link(i + n, v);
                q.push({tmp[i].w, i});
            }
            //  cout << cnt << "!!!" << endl;
            if (cnt)
                return -1;

            while (q.size())
            {
                int o = q.top().second;
                q.pop();
                if (vis[o])
                    continue;
                cut(tmp[o].u, o + n);
                cut(tmp[o].v, o + n);
                // cout << o << " " << cnt << endl;
                if (cnt)
                {
                    link(tmp[o].u, o + n), link(tmp[o].v, o + n);
                    q.push({tmp[o].w, o});
                    return tmp[o].w;
                }
            }

            return -1;
        };

        for (int i = 1; i <= m; i++)
            cout << add(i) << endl;
    }
} t;

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int n, m;

    cin >> n >> m;
    vector<Edge> e(m + 1);
    for (int i = 1; i <= m; i++)
        cin >> e[i].u >> e[i].v >> e[i].w;
    t.init(n, m, e);
    t.solve(n, m, e);
}